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प्रश्न
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n2 − 1, 8 से विभाज्य है।
उत्तर
हम जानते हैं कि किसी भी विषम सकारात्मक पूर्णांक n को फॉर्म 4q + 1 या 4q + 3 में लिखा जा सकता है।
जब n = 4q + 1,
तब n2 – 1 = (4q + 1)2 – 1
= 16q2 + 8q + 1 – 1
= 8q(2q + 1) 8 द्वारा विभाज्य है।
जब n = 4q + 3
तब n2 – 1 = (4q + 3)2 – 1
= 16q2 + 24q + 9 – 1
= 8(2q2 + 3q + 1) 8 द्वारा विभाज्य है।
तो, उपरोक्त समीकरणों से, यह स्पष्ट है कि
यदि n एक विषम सकारात्मक पूर्णांक है।
n2 – 1, 8 से विभाज्य है।
इसलिए साबित हुआ।
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