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Question
आकृति में A तथा B केंद्रवाले वृत्त परस्पर बिंदु E पर स्पर्श करते हैं। उनकी सामान्य स्पर्शरेखा l उन्हें क्रमशः C तथा D बिंदुओं पर स्पर्श करती है। यदि वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 4 सेमी तथा 6 सेमी हो तो रेख CD की लंबाई कितनी होगी?
Solution
A-E-B ..........(स्पर्श वृत्त प्रमेय से)
`{:("AE" = "AC" = 4 "सेमी"), ("BE" = "BD" = 6 "सेमी"):}}` ............(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
∠ACD = ∠BDC = 90° ...........(स्पर्श रेखा प्रमेय) .........(1)
`square`AMDC में,
∠ACD + ∠CDM + ∠AMD + ∠CAM = 360° ................(चतुर्भुज के सभी कोणों का योग)
∴ 90° + 90° + 90° + ∠CAM = 360° .............[रचना (1) और B-M-D]
∴ 270° + ∠CAM = 360°
∴ ∠CAM = 360° - 270°
∴ ∠CAM = 90°
∴ `square`AMDC एक आयत है | .........(परिभाषा से)
∴ DM = AC = 4 सेमी .........(आयत की सम्मुख भुजा)
BM + MD = BD .............(B-M-D)
∴ BM + 4 = 6
∴ BM = 6 - 4
∴ BM = 2 सेमी
AB = AE + EB .............(A-E-B)
∴ AB = 4 + 6
∴ AB = 10 सेमी
ΔAMB में, ∠AMB = 90° .........(रचना)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
`"AB"^2 = "AM"^2 + "BM"^2`
∴ `10^2 = "AM"^2 + 2^2`
∴ `"AM"^2 = 10^2 - 2^2`
∴ `"AM"^2 = 100 - 4`
∴ `"AM"^2 = 96`
∴ AM = `4sqrt6` सेमी ...............(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)
CD = AM .............(आयत की सम्मुख भुजा)
∴ CD = `4sqrt6` सेमी
∴ CD = `underline(4sqrt6)` सेमी |
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