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Question
ΔABC में AB = AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक भुजा AC तथा भुजा AB को क्रमश: बिंदु D तथा E पर प्रतिच्छेदित करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि रेख ED || रेख BC
Solution
ΔABC में, किरण BD यह ∠ABC का समद्विभाजक है |
∴ त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के प्रमेय से,
`"AB"/"BC" = "AD"/"DC"` ...........(1)
ΔABC में, रेख CE यह ∠ACB का समद्विभाजक है |
∴ त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के प्रमेय से,
`"AC"/"BC" = "AE"/"EB"` ...........(2)
रेख AB ≅ रेख AC ............(दत्त) ............(3)
∴ `"AB"/"BC" = "AC"/"BC"` ..........[(1), (2) और (3) से] .......(4)
ΔABC में,
`"AE"/"EB" = "AD"/"DC"` ...........[(1), (2) और (4) से] .......(4)
∴ समानुपात के मूलभूत प्रमेय के विलोम से,
रेख ED || भुजा BC
∴ रेख ED || रेख BC.
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ΔMNP में रेख NQ यह ∠N की समद्विभाजक है। यदि MN = 5, PN = 7, MQ = 2.5 तो QP का मान ज्ञात कीजिए।
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दिए गए रिक्त स्थानों को भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
आकृति ΔABC में ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करते हैं। रेखा AX यह भुजा BC को बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करती है; यदि AB = 5, AC = 4, BC = 6 तो `"AX"/"XY"` का मान ज्ञात कीजिए।
ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR।
दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
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