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Question
ΔLMN में किरण MT यह ∠LMN की समद्विभाजक है। LM = 6, MN = 10, TN = 8 तो LT का मान ज्ञात कीजिए।
Solution
Δ LMN में, किरण MT यह ∠LMN की समद्विभाजक है | ........ (दिया है)
∴ त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के प्रमेय से,
`"LM"/"MN" = "LT"/"TN"`
∴ `6/10 = "LT"/8`
∴ LT × 10 = 6 × 8
∴ LT = `(6 xx 8)/10`
∴ LT = `24/5`
∴ LT = 4.8
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दिए गए रिक्त स्थानों को भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR।
दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
निचे दी गई आकृति के आधार पर ∠RST = 56°, रेख PT ⊥ किरण ST, रेख PR ⊥ किरण SR तथा रेख PR ≅ रेख PT हो तो ∠RSP का माप ज्ञात कीजिए। कारणसहित लिखिए।
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ΔABC में, किरण BD यह ∠B को समद्विभाजित करता है।
∴ `square/("BC") = ("AD")/("DC")` ......(I) (`square`)
ΔABC में, DE || BC
∴ `(square)/("EB") = ("AD")/("DC")` ....(II) (`square`)
∴ `("AB")/square = square/("EB")` [(I) व (II) से]
