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Question
निचे दी गई आकृति के आधार पर ΔPQR में यदि PQ > PR तथा ∠Q तथा ∠R के समद्विभाजक बिंदु S पर प्रतिच्छेदित करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि SQ > SR
Solution
दत्त : ∆ PQR में, PQ > PR और ∠Q और ∠R के समद्विभाजक S पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
साध्य : SQ > SR
उपपत्ति :
∠SQR = `1/2` ∠PQR ….(i) ...[किरण QS ∠PQR को समद्विभाजित करती है]
∠SRQ = `1/2` ∠PRQ ...(ii) ...[किरण RS ∠PRQ को समद्विभाजित करती है]
∆ PQR में,
PQ > PR ...(दिया है।)
∴ ∠R > ∠Q ....[बड़ी भुजा के विपरीत कोण बड़ा होता है।]
∴ `1/2 ("∠R") > 1/2 ("∠Q") ...["दोनों पक्षों को" 1/2"से गुणा करने पर"] `
∴ ∠SRQ > ∠SQR ...(iii) ...[(i) तथा (ii) से]
∆SQR में,
∠SRQ > ∠SQR ...[(iii) से]
∴ SQ > SR ... [बड़े कोण के विपरीत भुजा बड़ी होती है]
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ΔMNP में रेख NQ यह ∠N की समद्विभाजक है। यदि MN = 5, PN = 7, MQ = 2.5 तो QP का मान ज्ञात कीजिए।
आकृति में दी गई जानकारी के आधार पर QP का मान ज्ञात कीजिए।
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दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
निचे दी गई आकृति के आधार पर बिंदु A, ∠XYZ केसमद्विभाजक पर है। यदि AX = 2 सेमी तो AZ की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
निचे दी गई आकृति के आधार पर ∠RST = 56°, रेख PT ⊥ किरण ST, रेख PR ⊥ किरण SR तथा रेख PR ≅ रेख PT हो तो ∠RSP का माप ज्ञात कीजिए। कारणसहित लिखिए।
ΔABC में ∠BAC की समद्विभाजक भुजा BC पर लंब हो तो सिद्ध कीजिए कि D ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
ΔABC में, किरण BD यह ∠ABC का कोण समद्विभाजक है। A - D - C, रेख DE || भुजा BC, A - E - B हो, तो सिद्ध कीजिए `("AB")/("BC") = ("AE")/("EB")`
उपपत्ति:
ΔABC में, किरण BD यह ∠B को समद्विभाजित करता है।
∴ `square/("BC") = ("AD")/("DC")` ......(I) (`square`)
ΔABC में, DE || BC
∴ `(square)/("EB") = ("AD")/("DC")` ....(II) (`square`)
∴ `("AB")/square = square/("EB")` [(I) व (II) से]
