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Question
अवकल समीकरण `dy/dx + y cot x = 4x cosec x` (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है : y = 0 यदि x = `pi/2`.
Solution
अवकल समीकरण दिया गया है,
`dy/dx + y cot x = 4x cosec x` ....(1)
रैखिक समीकरण `dy/dx + Py = Q` से तुलना करने पर,
जब P = cot x, Q = 4x cosec x
∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int cot x dx) = e^(log |sin x|) = sin x`
∴ समाधान है, `y. (I.F.) = int Q. (I.F.) dx + C`
`therefore y sin x = int 4x cosec x sin x dx + C`
`= int 4x dx + C = + C`
`= (4x^2)/2 + C`
⇒ y sin x = 2x2 + C ....(2)
जब `x = pi/2, y = 0`
∴ `0 = 2 (pi^2/4) + C`
⇒ `C = -pi^2/2`
(2) में `C = pi^2/2` रखने पर,
`y sinx = 2x^2 - pi^2/2 ; (sin x ne 0)`
जो आवश्यक समाधान है।
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