Question

अवकल समीकरण `dy/dx + y cot x = 4x  cosec  x` (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है : y = 0 यदि x = `pi/2`.

Answer 1

अवकल समीकरण दिया गया है,

`dy/dx + y cot x =  4x  cosec  x`             ....(1)

रैखिक समीकरण `dy/dx + Py = Q` से तुलना करने पर,

जब P = cot x, Q = 4x cosec x

∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int cot x  dx) = e^(log |sin x|) = sin x`

∴ समाधान है,  `y. (I.F.) = int Q. (I.F.)  dx + C`

`therefore y sin x = int 4x  cosec x sin x dx + C`

`= int 4x dx + C = +  C`

`= (4x^2)/2 + C`

⇒ y sin x  = 2x² + C                   ....(2)

जब `x = pi/2, y = 0`

∴ `0 = 2 (pi^2/4) + C`

⇒ `C = -pi^2/2`

(2) में `C = pi^2/2` रखने पर,

`y sinx  = 2x^2 - pi^2/2 ; (sin x ne 0)`

जो आवश्यक समाधान है।