Question

अवकल समीकरण (x – y)(dx + dy) = dx – dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1, यदि x = 0.

Answer 1

दिया है, अवकल समीकरण

(x - y) (dx + dy) = dx - dy

(x - y - 1) dx + (x – y + 1) dy = 0

`therefore dy/dx = (x - y - 1)/(x - y + 1)`

अब, x - y = t रखने पर,

`1 - dy/dx = dt/dx`

`therefore dy/dx = 1 - dt/dx`

`therefore 1 - dt/dx = (- t - 1)/(t + 1)`

या `dt/dx = 1 + (t - 1)/(t + 1)`

`= (t + 1 + t - 1)/(t  + 1)`

`=> dt/dx = (2t)/(t + 1)`

`=> dt/dx = (2t)/(t + 1)`

`=> (t + 1)/t dt = 2  dx`

समाकलन करने पर,

`int (t + 1)/t dt + 2 int dx + C`

या `int (1 + 1/t)dt = 2x + C`

∴ t + log t = 2x + C    ...[t = x - y रखने पर]

⇒ x - y + log (x - y) = 2x + C

या log (x - y) = x + y + C

x = 0, y = - 1 रखने पर,

0 = 0 - 1 + C

∴ C = 1

अभीष्ट हल है:

log(x - y) = x + y + 1