Question

अवकल समीकरण (1 + e^2x) dy + (1 + y²)e^x dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 1 यदि x = 0.

Answer 1

दिया गया समीकरण है,

(1 + e^2x)dy + (1 + y²) e^x dx = 0

⇒ `dy/(1 + y^2) + e^x/(1 + e^(2x))  dx = 0`

एकीकृत करने पर, `int dy/(1 + y^2) + int e^x/(1 + e^(2x))  dx = C_1`

⇒ `tan^-1 y + I = C_1`                     ....(1)

जब `I = int e^x/(1 + e^(2x))  dx`

e^x = t रखने पर,

⇒ e^x  dx = dt

∴ `I = int dt/(1 + t^2) = tan^-1 t + C_2`

= tan^-1 e^x + C₂

(1) से, tan^-1 y + tan^-1 e^x + C₂ = C₁

या tan^-1 y + tan^-1 e^x = C                .....(2)

जब x = 0, y = 1,

∴ tan^-1 (1) + tan^-1 (e⁰) = C

⇒ tan^-1 (1) + tan^-1 (1) = C

⇒ `pi/4 + pi/4 = C`

⇒ `C = pi/2`

(2) `tan^-1 y + tan^-1 e^x = pi/2,` रखने पर

जो आवश्यक समाधान है।