Question

अवकल समीकरण `(x + 1)dy/dx = 2e^(-y) - 1` का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0.

Answer 1

दिया गया समीकरण है,

`(x + 1) dy/dx = 2e^-y - 1`

⇒ `dy/(2e^-y - 1) = dx/(x + 1)`                ....(1)

समाकलन करने पर, हमें `int dy/(2e^-y - 1) = int dx/(x + 1) + C` प्राप्त होता है।

⇒ `int dy/(2e^-y - 1) =log |x + 1| + C`

अब, `I = int dy/ (2e^-y - 1) = int e^y/(2 - e^y)  dy`

e^y = t रखें ताकि e^y dy = dt हो जाए,

∴ `I = int dt/(2-t) = - log |2 - t| = - log |2 - e^y|`

(1) से, - log |2 - e^y|

= log |x + 1| + C                    ....(2)

जब x = 0. y = 0

∴ - log |2 - 1| = log |0 + 1| + C

⇒ - log |1| = log |1| + C

⇒ 0 = 0 + C

⇒ C = 0

(2) रखने पर, - log |2 e^y| = log |x + 1|

⇒ `log |2 - e^y| = log |1/ (x + 1)|`

⇒ `2 e^y = 1/(x + 1)`

⇒ `e^y  = 2 - 1/ (x + 1) = (2x + 1)/(x + 1)`

⇒ `y = log |(2x + 1)/ (x + 1)|, x ne -1`

जो आवश्यक समाधान है।