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प्रश्न
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
उत्तर
माना किसी समय t पर गाँव की जनसंख्या y है।
दिया है : `"dy"/"dt" prop "y" => "dy"/"dx" = "ky"`
जबकि k समानुपाती की अचर संख्या है।
`=> "dy"/"y" = "k dt"`
समाकलन करने पर,
`int "dy"/"y" = int "k dt" + "C"`
∴ log y = kt + C …(1)
सन् 1999 में मान लिया t = 0, जनसंख्या = 20,000
∴ log 20,000 = 0 + C
⇒ C = log 20,000
C का मान (1) में रखने पर,
log y = kt + log 20,000
या log y – log 20,000 = kt
∴ `log "y"/20000 = "kt"` ...(2)
सन् 2004 में,
∴ `log 25000/20000 = "k" xx 5`
`=> "k" = 1/5 log 5/4`
k का मान समीकरण (2) में रखने पर,
`log "y"/20000 = (1/5 log 5/4)`
सन् 2009 में, t = 10
`∴ log "y"/20000 = (1/5 log 5/4) xx 10 = 2 log 5/4`
`= log (5/4)^2 = log 25/16`
`=> "y"/20000 = 25/16`
`=> 16"y" = 25 xx 20000`
`=> "y" = (25 xx 20000)/16`
⇒ y = 31250
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