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प्रश्न
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
उत्तर
वह वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करें
(x – a)2 + (y – a)2 = a2 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2(x - a) + 2(y - a)`"dy"/"dx" = 0`
या x - a + (y - a)p = 0 जबकि p = `"dy"/"dx"`
⇒ x + py - a(1 + p) = 0
`therefore "a" = (x + "py")/(1 + "p")`
∴ `x - "a" = x - (x + "py")/(1 + "p")`
∴ `= (x + "p"x - x - "py")/(1 + "p")`
`= ((x - "y")"p")/(1 + "p")`
`"y - a" = "y" - (x + "py")/(1 + "p")`
`= ("y" + "py" - x - "py")/(1 + "p")`
`= ("y - x")/(1 + "p")`
a, x - a, y - a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`(("x - y")^2 "p"^2)/(1 + "p")^2 + ("y - x")^2/(1 + "p")^2 = (x + "py")^2/(1 + "p")^2`
`=> (x - "y")^2 "p"^2 + (x - "y")^2 = (x + "py")^2`
या (x - y)2 (1 + p2) = (x + py)2
∴ अभीष्ट अवकल समीकरण,
`(x - "y")^2 [1 + ("dy"/"dx")^2] = [x + "y""dy"/"dx"]^2`
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