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Question
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
Solution
वह वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करें
(x – a)2 + (y – a)2 = a2 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2(x - a) + 2(y - a)`"dy"/"dx" = 0`
या x - a + (y - a)p = 0 जबकि p = `"dy"/"dx"`
⇒ x + py - a(1 + p) = 0
`therefore "a" = (x + "py")/(1 + "p")`
∴ `x - "a" = x - (x + "py")/(1 + "p")`
∴ `= (x + "p"x - x - "py")/(1 + "p")`
`= ((x - "y")"p")/(1 + "p")`
`"y - a" = "y" - (x + "py")/(1 + "p")`
`= ("y" + "py" - x - "py")/(1 + "p")`
`= ("y - x")/(1 + "p")`
a, x - a, y - a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`(("x - y")^2 "p"^2)/(1 + "p")^2 + ("y - x")^2/(1 + "p")^2 = (x + "py")^2/(1 + "p")^2`
`=> (x - "y")^2 "p"^2 + (x - "y")^2 = (x + "py")^2`
या (x - y)2 (1 + p2) = (x + py)2
∴ अभीष्ट अवकल समीकरण,
`(x - "y")^2 [1 + ("dy"/"dx")^2] = [x + "y""dy"/"dx"]^2`
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