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Question
दर्शाइए कि सदिश `2hati - hatj + hatk, hati - 3hatj - 5hatk` और `3hati - 4hatj - 4hatk` एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
Solution
मान लीजिए दिए हुए सदिशों `2hati - hatj + hatk, hati - 3hatj - 5hatk और 3hati - 4hatj - 4hatk` को क्रमश: A, B, C से व्यक्त करे,
A का स्थिति संदिश `vec(OA) = 2hati - hatj + hatk`
B का स्थिति संदिश `vec(OB) = hati - 3hatj - 5hatk`
C का स्थिति संदिश `vec(OC) = 3hati - 4hatj - 4hatk`
अब `vec(AB) = vec(OB) - vec(OA)`
= `(hat1 - 3hatj - 5hatk) - (2hat1 - hatj + hatk)`
= `-hat1 - 2hatj + 6hatk`
`|vec(AB)| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2) `
`= sqrt(1 + 4 + 36)`
`= sqrt41`
`vec(BC) = vec(OC) - vec(OB) = (3hat1 - 4hatj - 4hatk) - (hat1 - 3hatj - 5hatk) = 2hati - hatj + hatk`
`|vec(BC)| = sqrt((2)^2 + (-1)^2 + (1)^2) `
`= sqrt6`
`vec(CA) = vec(OA) - vec(OC) = (2hati - hatj + hatk) - (3hat1 - 4hatj - 4hatk) = -hati + 3hatj + 5hatk`
`|vec(CA)| = sqrt((-1)^2 + (3)^2 + (5)^2)`
`= sqrt35`
समकोण ΔABC के लिए जहा ∠C = 90° हो, तब
`|vec(AB)|^2 = |vec(BC)|^2 + |vec(CA)|^2`
41 = 6 + 35 = 41
अतः दिए गए सदिशों से एक समकोण त्रिभुज की रचना होती है।
इति सिद्धम।
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