Question

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = `1/2` (उसके विकर्णों का गुणनफल)]

Answer 1

मान लीजिए (3, 0), (4, 5), (−1, 4) और (−2, −1) एक समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष A, B, C, D हैं।

विकर्ण AC की लंबाई = `sqrt([3-(-1)]^2 + (0-4)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (4)^2)`

= `sqrt (16 + 16)`

= `4sqrt2`

विकर्ण BD की लंबाई = `sqrt([4-(-2)]^2+[5-(-1)]^2)`

= `sqrt((-6)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt(36+36) `

= `6sqrt2`

इसलिए, समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `1/2xx("विकर्णों का गुणनफल")`

= `1/2xx"AC"xx"BD"`

= `1/2xx4sqrt2xx6sqrt2`

= `1/2xx2xx4xx6`

= 24 वर्ग इकाइयाँ

Answer 2

मान लीजिए समचतुर्भुज के शीर्ष क्रमशः A(3, 0), B(4, 5), C (-1, 4) और D(-2, -1) दिए हुए हैं।

⇒ AC = `sqrt((-1 - 3)^2 + (4 - 0)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (4)^2)`

= `sqrt(16 + 16) `

= `4sqrt2` मात्रक

एवं BD = `sqrt((-2 - 4)^2 + (-1 - 5)^2)`

= `sqrt((-6)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt(36 + 36)`

= `6sqrt2` मात्रक

चूँकि समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `1/2 xx "AC" xx "BD"`

ar (ABCD) = `1/2 xx 4sqrt2 xx 6sqrt2`

= 4 × 6

= 24

वर्ग मात्रक अतः दिए समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक है।