Question

एक वर्गाकार शीट में से अधिकतम माप का एक वर्ग काट लिया जाता है। इसके बाद इस वृत्त में से अधिकता माप का एक वर्ग काट लिया जाता हैं। अंतिम वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा?

Options

• प्रारंभिक वर्ग का ${\displaystyle \frac{3}{4}}$

• प्रारंभिक वर्ग का ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

• प्रारंभिक वर्ग का ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

• प्रारंभिक वर्ग का ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

Answer 1

${\displaystyle \text{प्रारंभिक वर्ग का}\frac{1}{2}}$

स्पष्टीकरण -

मान लीजिए a एक वर्गाकार शीट की भुजा है।

फिर, बड़ी वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल = a²  ...(i)

अब, हम इससे अधिकतम संभव आकार का वृत्त बनाते हैं।

फिर, वृत्त की त्रिज्या = ${\displaystyle \frac{a}{2}}$  ...(ii)

तो, इसका व्यास (d) = ${\displaystyle 2\cdot \frac{a}{2}=a}$ है।

अब, अधिकतम आकार के वृत्त के किसी भी वर्ग के विकर्ण की लंबाई वृत्त के व्यास के बराबर होगी।

अर्थात वृत्त के अंदर बने वर्ग का विकर्ण = a

तो, इस वर्ग की भुजा = ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}$   ...[∵ विकर्ण = भुजा ${\displaystyle \sqrt{2}}$]

∴ इस वर्ग का क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{a^2}{2}}$  ...(iii)

समीकरण (i) और (iii) से,

अंतिम वर्ग का क्षेत्रफल मूल वर्ग का ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है।