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Question
एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुऐ अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है। और झंडा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution
मान लीजिए कि F1 और F2 दो बिंदु हैं जहाँ झंडा चौकियां जमीन पर लगे हुए हैं।
मूल बिंदु O, F1F2 का मध्य-बिंदु है।
∴ OF1 - OF2 = `1/2 F_1F_2 = 1/2 xx 8 = 4"मीटर" `
F1 के निर्देशांक (-4, 0) हैं और F2 के निर्देशांक (4, 0) हैं
मान लीजिए P (α, β) पथ पर कोई बिंदु है।
∴ PF1 + PF2 = 10
∴ `sqrt((α + 4)^2 + (β - 0)^2)` + `sqrt((α - 4)^2 + (β - 0)^2) = 10`
= `sqrt(α^2 + 16 + 8α + β^2)` = `10 - sqrt(α^2 + 16 - 8α + β^2)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
α2 + β2 + 8α + 16 = 100 + α2 + β2 - Bα + 16 `-20 sqrt(α^2 + β^2 - 8α + 16)`
= 16α - 100 = `-20 sqrt(α^2 + β^2 - 8α + 16)`
पुनः, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
= (16α - 100)2 = (`-20 sqrt((α^2 + β^2 - 8α + 16)^2)`
= 256α2 + 10000 - 3200α = 400(α2 + β2 - 8α+ 16)
= 256α2 + 10000 - 3200α = 400α2 + 400β2 - 32008α+ 6400)
= 144α2 + 400β2 = 3600
= `(144α^2)/(3600) + (400β^2)/(3600) = 1`
इस प्रकार, बिंदु P के बिंदुपथ का आवश्यक समीकरण `x^2/25 + y^2/9 = 1` है।
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