Question

निम्नलिखित में `sin  x/2, cos  x/2  "तथा" tan  x/2` ज्ञात कीजिए:

`cos x = -1/3`, x तृतीय चतुर्थांश में है।

Answer 1

यहाँ,  x तृतीय चतुर्थांश में है।

यानी, `pi < x < (3x)/2`

⇒ `pi/2 < x/2 < (3pi)/4`

इसलिए, cos `x/2` तथा tan `x/2` ऋणात्मक हैं, जबकि sin `x/2` सकारात्मक है।

यह दिया गया है कि cos x = - `1/3`

`cos x = 1 - 2 sin^2  x/2`

⇒ `sin^2  x/2 = (1 - cosx)/2`

⇒ `sin^2   x/2 =  (1 - (1/3)/2 = 1 + 1/3)/2 = (4/3)/2 = 2/3`

⇒ sin `x/2 = sqrt2/sqrt3`  `[∵ sin  x/2  "सकारात्मक है"]`

∴ sin `x/2 = sqrt2/sqrt3 xx sqrt3/sqrt3 = sqrt6/3`

अब, cos x = `2cos^2  x/2 -1 ` 

⇒ `cos^2  x/2 = 1 +cosx/2 = 1+ (- 1/3)/2 = ((3-1) /3)/2 = (2/3)/2 = 1/3`

⇒ `cos  x/2 = - 1/sqrt3`  `[∵ cos  x/2  "नकारात्मक है"]`

∴ `cos  x/2 = - 1/sqrt3 xx sqrt3/sqrt3 = (sqrt -3)/3`

`tan  x/2 = (sin  x/2 = (sqrt2/sqrt3))/(cos  x/2 (-1/sqrt3)) = - sqrt2` 

इस प्रकार, के संबंधित मूल्य `sin  x/2 , cos  x/2  "तथा" tan  x/2  "और"  sqrt6/3, (-sqrt3)/3, "तथा" -sqrt2 `