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Question
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution
मान लीजिए कि दिए हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A(0, -1), B(2, 1) एवं C(0, 3) है। यदि इनकी भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E एवं F हों तो
`"D"((0 + 2)/2, (-1 + 1)/2), "E"((2 + 0)/2, (1 + 3)/2)` एवं `"F"((0 + 0)/2, (3 - 1)/2)`
D (1, 0), E (1, 2) एवं F (0, 1)
चूँकि
∆ = `1/2` [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]
ar (ABC) = `1/2` [0 (1 - 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 - 1)]
= `1/2` [0 (-2) + 2 (4) + 0 (-2)]
= `1/2` [0 + 8 + 0]
= 4 वर्ग इकाई
एवं ar (DEF) = `1/2` [1 (2 - 1) + 1 (1 - 0) + 0 (0 - 2)]
= `1/2` [1 + 1 + 0]
= `1/2 xx 2`
= 1 वर्ग इकाई
`("ar"("DEF"))/("ar"("ABC")) = 1/4`
ar (DEF) : ar (ABC) = 1 : 4
अतः दिए त्रिभुज के मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक एवं इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात 1:4 है।
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