Question

सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण ${\displaystyle {\sin }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)}$ होता है।

Answer 1

माना शंकु की त्रिज्या r, तिरछी ऊँचाई l संपूर्ण पृष्ठ S तथा आयतन V है।

संपूर्ण पृष्ठ  ${\displaystyle S=\pi r(r+I) \text{या} \pi rI=S-\pi r^2}$

या ${\displaystyle l=\frac{S-\pi r^2}{\pi r}=\frac{S}{\pi r}-r}$            ...(1)

तथा आयतन V = ${\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^{2}h}$

या ${\displaystyle V^2=\frac{1}{9}{\pi }^2{r}^4{h}^2=\frac{1}{9}{\pi }^2{r}^4(l^2-r^2) ...[\because \Delta OAC \text{से,} h^2=l^2-r^2]}$

या ${\displaystyle V^2=\frac{{\pi }^2{r}^4}{9}[{(\frac{S}{\pi r}-r)}^2-r^2]}$

${\displaystyle =\frac{{\pi }^2{r}^4}{9}[\frac{S^2}{{\pi }^2{r}^2}-\frac{2S}{\pi }+r^2-r^2]}$

${\displaystyle =\frac{{\pi }^2}{9}[\frac{S^2{r}^2}{{\pi }^2}-\frac{2S{r}^4}{\pi }]}$

${\displaystyle \therefore V^2=\frac{S^2{r}^2}{9}-\frac{2\pi S{r}^4}{9}=u}$   (माना)            ...(2)

समीकरण (2) का r के सापेक्ष अवकलन करने पर, ${\displaystyle \frac{du}{dr}=\frac{S^2}{9}\cdot 2r-\frac{2}{9}\pi S\cdot 4r^3}$       ...(3)

u अर्थात V² के उच्छिष्ट अथवा निम्निष्ठ मान के लिए, ${\displaystyle \frac{du}{dr}=0}$

अर्थात  ${\displaystyle \frac{S^2}{9}\cdot 2r-\frac{2}{9}\pi \cdot S\cdot 4r^3=0}$

या ${\displaystyle \frac{2Sr}{9}[S-4\pi r^2]=0 \therefore S=4\pi r^2}$

या ${\displaystyle \pi r(l+r)=4\pi r^2}$   या  l + r = 4r

या l = 3r     या   r ${\displaystyle =\frac{l}{3}}$

समीकरण (3) का r के सापेक्ष अवकलन करने पर, ${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{r}^2}=\frac{2S^2}{9}-\frac{8}{9}\pi S\cdot 3r^2}$

${\displaystyle S=4\pi r^2 \text{पर,} \frac{d^{2}u}{d{r}^2} =\frac{2{\left(4\pi r^2\right)}^2}{9}-\frac{8}{9}\pi \cdot 4\pi r^2\cdot 3r^2}$

${\displaystyle =\frac{32{\pi }^2{r}^4}{9}-\frac{96{\pi }^2{r}^4}{9}=\frac{64{\pi }^2{r}^4}{9}}$    (ऋणात्मक)

${\displaystyle \therefore r=\frac{l}{3}}$ पर उच्चिष्ठ होगा, अर्थात शंकु का आयतन V  उच्चिष्ठ होगा।

परंतु जब ${\displaystyle r=\frac{l}{3}}$

तब यदि शंकु का अर्ध शीर्ष कोण ${\displaystyle \theta }$ है, तो

${\displaystyle \sin \theta =\frac{r}{l}=\frac{r}{3r}=\frac{1}{3}}$  या ${\displaystyle \theta ={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)}$

अतः शंकु का आयतन महत्तम होगा यदि अर्द्ध शीर्ष कोण ${\displaystyle {\sin }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)}$ होगा।