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Question
सिद्ध कीजिए।
`(sintheta - costheta + 1)/(sintheta + costheta - 1) = 1/(sectheta - tantheta)`
Solution
`sin^2theta + cos^2theta = 1` ..................(सर्वसमिका)
∴ `cos^2theta = 1 - sin^2theta`
∴ `costheta xx costheta = (1 - sintheta)(1 + sintheta)`
∴ `costheta/((1 - sintheta)) = ((1 + sintheta))/costheta`
`(1 + sintheta)/(costheta) = (costheta)/(1 - sintheta)`
तुल्य अनुपात के सिद्धांत से,
`(1 + sintheta)/(costheta) = (costheta)/(1 - sintheta) = (1 + sintheta - costheta)/(costheta - (1 - sintheta))`
∴ `costheta/(1 - sintheta) = (1 + sintheta - costheta)/(costheta - 1 + sintheta)`
∴ `costheta/(1 - sintheta) = (sintheta - costheta + 1)/(sintheta + costheta - 1)`
बायाँ पक्ष के अंश तथा हर दोनों में cos θ से भाग देने पर,
∴ `(costheta"/"costheta)/((1/costheta - sintheta/costheta)) = (sintheta - costheta + 1)/(sintheta + costheta - 1)`
∴ `1/(sectheta - tantheta) = (sintheta - costheta + 1)/(sintheta + costheta - 1)` ..................`[∵ sectheta = 1/costheta, tantheta = sintheta/costheta]`
∴ `(sintheta - costheta + 1)/(sintheta + costheta - 1) = 1/(sectheta - tantheta)`.
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नीचे दिए गए बहुवैकल्पिक प्रश्न के उत्तर का सही विकल्प चुनकर लिखिए।
1 + tan2θ = कितना?
cot θ + tan θ = cosec θ × sec θ सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
सिद्ध कीजिए: cotθ + tanθ = cosecθ × secθ
हल:
बायाँ पक्ष = cotθ + tanθ
= `cosθ/sinθ + sinθ/cosθ`
= `(square + square)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ............... `square`
= `1/sinθ xx 1/square`
= cosecθ × secθ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ cotθ + tanθ = cosecθ × secθ
यदि `1/sin^2θ-1/cos^2θ-1/tan^2θ-1/cot^2θ-1/sec^2θ-1/("cosec"^2θ) = -3`, तो θ का मान ज्ञात कीजिए।
