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Question
यदि f(a + b - x) = f(x), तो `int_a^b x f(x)` बराबर है:
Options
`(a + b)/2 int_a^b f(b - x) dx`
`(a + b)/2 int_a^b f(b + x) dx`
`(b - a)/2 int_a^b f(x) dx`
`(a + b)/2 int_a^b f(x) dx`
Solution
`(a + b)/2 int_a^b f(x) dx`
स्पष्टीकरण:
माना `I = int_a^b x f(x) dx`
`= int_a^b (a + b - x) f(a + b - x) dx` `...[because int_a^b f(x) d = int_a^b f(a + b - x)] dx`
`I = int_a^b f(a + b - x) f(x) dx` `...[because f(a + b - x) = f(x) " दिया है।"]`
∴ `I = int_a^b [(a + b) f(x) - x f(x)] dx`
`= (a + b) int_a^b f(x) dx - int_a^b x f(x) dx`
= `(a + b) int_a^b f(x) dx - 1`
∴ `2I = (a + b) int_a^b f(x) dx`
∴`I = (a + b)/2 int_a^b f(x) dx`
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