Question

योग की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।

`int_0^5  ("x" + 1)`  dx

Answer 1

दिया है f(x) = x + 1 a = 0 तथा b = 5

∴ nh = b - a = 5 - 0 = 5

परिभाषानुसार,

`int_a^b  "f"("x") "dx" =  lim_("h" -> 0)` [f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) .... + f a + (n - 1) h]

जहाँ nh = b - a

`int_0^5`  (n + 1)  dx = `lim_("h" -> 0)` h {h f(0) + f(0 + h) + f (0 + 2h) .... f(a + )(n - 1) h}

`= lim_("h" -> 0)` h [1 + (h + 1) + (2h + 1) ... (n - 1) h + 1]

`= lim_("h" -> 0)` h [n + {h + 2h + 3h .... + (n - 1) h}]

`= lim_("h" -> 0)` h [n + h (1 + 2 + 3 .... (n - 1) h)]

`= lim_("h" -> 0)` h [n + `1/2` nh (n - 1)]

`= lim_("h" -> 0)` [nh + `1/2` nh (nh - h)]

`= lim_("h" -> 0)` [5 + `5/2` (5 - h)]       ...(nh = 5 रखने पर)

`= 5 + 5/2  (5 - 0)`

`= 5 + 25/2`

`= 35/2`