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Question
यदि P, Q और R क्रमश : एक त्रिभुज की BC, CA और AB भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं तथा AD शीर्ष A से BC पर लंब है, तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु P, Q, R और D चक्रीय है।
Solution
दिया गया है - ΔABC में, P, Q और R भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। साथ ही, AD ⊥ BC.
सिद्ध करना है - P, Q, R और D चक्रीय हैं।
रचना - DR, RQ और QP को मिलाइए
उपपत्ति - समकोण ∆ADP में, R AB का मध्य-बिंदु है।
∴ RB = RD
⇒ ∠2 = ∠1 ...(i) [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
चूंकि, R और Q AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, तो
RQ || BC ...[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]
या RQ || BP
चूंकि, QP || RB, तो चतुर्भुज BPQR एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠1 = ∠3 ...(ii) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
समीकरण (i) और (ii) से,
∠2 = ∠3
लेकिन ∠2 + ∠4 = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∴ ∠3 + ∠4 = 180° ...[∴ ∠2 = ∠3]
अतः, चतुर्भुज PQRD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
इसलिए, बिंदु P, Q, R और D अचक्रीय हैं।
अतः सिद्ध हुआ।
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