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Question
यदि BM और CN त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB पर खींचे गए लंब हैं, तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु B, C, M और N चक्रीय हैं।
Solution
माना O, BC का केंद्र है।
चूँकि CN, AB पर लंब है, इसलिए ΔBNC एक समकोण त्रिभुज है।
इसलिए B, N और C से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र BC का मध्यबिंदु होगा और OB त्रिज्या होगी। ...(1)
इसी प्रकार, BM, AC पर लंब है, इसलिए ΔBMC एक समकोण त्रिभुज है।
इसलिए B, M और C से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र BC का मध्यबिंदु होगा और OB त्रिज्या होगी ...(2)
(1) से, हमें B, N और C से गुजरने वाला एक वृत्त मिलता है जो O पर केंद्रित है और त्रिज्या OB है।
(2) से, हमें B, M और C से गुजरने वाला एक वृत्त मिलता है जो O पर केंद्रित है और त्रिज्या OB है।
चूंकि एक निश्चित बिंदु और निश्चित त्रिज्या से केवल एक ही वृत्त खींचा जा सकता है। इसलिए, एक ही वृत्त चार बिंदुओं B, M, N और C से होकर गुजरेगा।
इसलिए; B, N, M और C चक्रीय हैं।
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