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प्रश्न
AB और CD एक चतुर्भुज ABCD की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।
उत्तर
दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है। जिसमें AB सबसे छोटी भुजा और CD सबसे बड़ी भुजा है।
सिद्ध करना है: ∠A > ∠C और ∠B > ∠D
रचना: A और C तथा B और D को मिलाइए।
उपपत्ति: ∆ABC में AB सबसे छोटी भुजा है।
∴ BC > AB
⇒ ∠1 > ∠2 …(i)
[∵ बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है।]
∆ADC में, CD सबसे बड़ी भुजा है।
∵ CD > AD
⇒ ∠3 > ∠4 …(ii)
(i) और (ii), को जोड़ने पर।
∠1 + ∠3 > ∠2 + ∠4
⇒ ∠A > ∠C [यही सिद्ध करना है (1)]
अब ∆ADB में, AB सबसे छोटी भुजा है।
∵ AD > AB
⇒ ∠5 > ∠6 …(iii)
और ∆BCD में, CD सबसे बड़ी भुजा है।
∵ CD > BC
⇒ ∠7 > ∠8 …(Iv)
(iii) और (ii), को जोड़ने पर
∠5 + ∠7 > ∠6 + ∠8
∠B > ∠D [यही सिद्ध करना है]
अतः, ∠A > ZC और ∠B > ∠D [यही सिद्ध करना है।]
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