Question

ΔABC मध्ये रेख AD ⊥ रेख BC आणि DB = 3CD, तर सिद्ध करा : 2AB² = 2AC² + BC²  

Answer 1

पक्ष: रेख AD ⊥ रेख BC 

DB = 3CD

साध्य: 2AB² = 2AC² + BC²  

सिद्धता:

DB = 3CD  ...(i) [पक्ष]

ΔADB मध्ये, ∠ADB = 90°  ....[पक्ष]

∴ AB² = AD² + DB²  ....[पायथागोरसचे प्रमेय] 

∴ AB² = AD² + (3CD)² ........[(i) वरून]

∴ AB² = AD² + 9CD² ...(ii)

AB² – 9CD² = AC² – CD² 

ΔADC मध्ये, ∠ADC = 90°  ....[पक्ष]

∴ AC² = AD² + CD² ...[पायथागोरसचे प्रमेय]

∴ AD² = AC² – CD² ....(iii)
AB² = AC² – CD² + 9CD² ....[(ii) व (iii) वरून]

∴ AB² = AC² + 8CD² ...(iv)

CD + DB = BC  ....[C - D - B]

∴ CD + 3CD = BC  .....[(i) वरून]

∴ 4CD = BC

∴ CD = `"BC"/4`  ...(v)

AB² = AC² + 8`("BC"/4)^2`  .....[(iv) व (v) वरून]

∴ AB² = AC² + `8 xx ("BC"^2)/16` 

∴ AB² = AC² + `("BC"^2)/2` 

∴ 2AB² = 2AC² + BC²  .....[दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणून]