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प्रश्न
दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≥ 100, 2x - y ≤ 0, 2x + y ≤ 200; x, y ≥ 0.
उत्तर
बाधाओं की प्रणाली इस प्रकार है:
x + 2y ≥ 100 ....(i)
2x - y ≤ 0 ....(ii)
2x + y ≤ 200 ....(iii)
और x, y ≥ 0 ....(iv)
माना l1 : x + 2y = 100
l2 : 2x - y = 0
l3 : 2x + y = 200
चित्र में छायांकित क्षेत्र बाधाओं (i) से (iv) की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र है।
यह देखा गया है कि संभाव्य क्षेत्र ECDB परिबद्ध है।
इस प्रकार, हम Z के अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करने के लिए बिंदु विधि का उपयोग करते हैं।
हमारे पास है, Z = x + 2y
E, C, D और B के निर्देशांक (20, 40) हैं (x + 2y = 100 और 2x - y = 0 को हल करने पर),
(50, 100) (2x + y = 200 और 2x - y = 0 को हल करने पर), क्रमशः (0, 200) और (0, 50)
| बिंदु | Z के संगत मान |
| (20, 40) | 100 |
| (50, 100) | 250 |
| (0, 200) | 400 (अधिकतम) |
| (0, 50) | 100 |
अतः Z अधिकतम = 400 (0, 200) पर तथा Z न्यूनतम = 100 बिन्दुओं (0, 50) तथा (20, 40) को मिलाने वाले रेखाखंड पर सभी बिन्दुओं पर।
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