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प्रश्न
किसी अंकगणितीय श्रृंखला का 19 वाँ पद 52 तथा 38 वाँ पद 148 हो, तो उस श्रृंखला के प्रथम 56 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
माना, इस श्रृंखला का पहला पद (a) तथा सामान्य अंतर (d) है।
इस श्रृंखला का 19 वाँ पद 52 है।
tn = a + (n − 1)d .............(सूत्र)
t19 = a + (19 − 1) × d
∴ 52 = a + 18 × d .......(मान प्रतिस्थापित करने पर)
∴ 52 = a + 18d
∴ a + 18d = 52 ..........(I)
इस श्रृंखला का 38 वाँ पद 128 है। ....(दिया गया है)
tn = a + (n − 1)d .............(सूत्र)
t38 = a + (38 − 1) × d
∴ 128 = a + 37d
∴ a + 37d = 128 .......(II)
समीकरण (I) तथा (II) को जोड़ने पर,
a + 18d = 52 .....(I)
a + 37d = 128 .......(II)
2a + 55d = 180 ......(III)
अब,
Sn = `"n"/2 [2"a" + ("n" - 1)"d"]` .......(सूत्र)
∴ S56 = `56/2 [2"a" + (56 - 1)"d"]`
= 28 [2a + 55d]
= 28 × 180 ......[(III) से]
∴ S56 = 5040
∴ पहले 56 पदों का योगफल 5040 है।
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`"S"_27 = 27/2 [12 + (27 - 1)square]`
`= 27/2 xx square`
= 27 × 45
= `square`
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| 1 से 140 के बीच की 4 से विभाज्य संख्याएँ |
| ↓ |
| 4, 8, ................, 136 |
| ↓ |
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| ↓ |
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| ↓ |
| tn = a + (n − 1)d |
| ↓ |
| 136 = `square` + (n − 1) × `square` |
| ↓ |
| n = `square` → Sn = `"n"/2[2"a" + ("n" - 1)]"d"` |
| ↓ |
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1 से 140 के बीच की, 4 सेविभाज्य संख्याओं का योगफल = `square`
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प्रथम ‘n’ सम प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात करो।
यदि अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद p, दूसरा पद q तथा अंतिम पद r हो, तो उस श्रृंखला के सभी पदों का जोड़ `("q" + "r" - 2"p") xx ("p" + "r")/(2("q"-"p"))` इतना है यह दिखाइये।
