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प्रश्न
किसी AP के 11 वें पद का 18 वे पद से अनुपात 2 : 3 है। 5 वें पद का 21 वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए तथा साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए कि a और d क्रमशः AP का पहला पद और सामान्य अंतर हैं।
दिया गया है, a11 : a18 = 2 : 3
⇒ `(a + 10d)/(a + 17d) = 2/3`
⇒ 3a + 30d = 2a + 34d
⇒ a = 4d ...(i)
अब, a5 = a + 4d
= 4d + 4d
= 84d ...[समीकरण (i) से]
और a21 = a + 20d
= 4d + 20d
= 24d ...[समीकरण (i) से]
∴ a5 : a21 = 8d : 24d = 1 : 3
अब, पहले पाँच पदों का योग,
S5 = `5/2[2a + (5 - 1)d]` ...`[∵ S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]]`
= `5/2[2(4d) + 4d]` ...[समीकरण (i) से]
= `5/4(8d + 4d)`
= `5/2 xx 12d`
= 30d
और पहले 21 पदों का योग,
S21 = `21/2[2a + (21 - 1)d]`
= `21/2[2(4"d") + 20"d"]` ...[समीकरण (i) से]
= `21/2(28"d")`
= 294d
S5 : S21 = 30d : 29d = 5:49
इसलिए, पहले पांच पदों के योग का पहले 21 पदों के योग से अनुपात 5: 49 है।
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