Question

निम्नलिखित आकृति में, ∠AOB = 90° और ∠ABC = 30° है। तब, ∠CAO बराबर है :

 

विकल्प

• 30⁰

• 45⁰

• 90⁰

• 60⁰

Answer 1

60⁰

स्पष्टीकरण -

चूँकि, किसी चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

∴ ∠AOB = 2∠ACB

${\displaystyle \Rightarrow }$ 90° = 2∠ACB  ...[∵ ∠AOB = 90°]

${\displaystyle \Rightarrow }$ ∠ACB = 45°

साथ ही, AO = OB  ...[एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]

${\displaystyle \Rightarrow }$ ∠ABO = ∠BAO   ...(i) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

अब, ΔOAB में, ∠OAB + ∠ABO + ∠BOA = 180°  ...[त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।]

∴ ∠OAB + ∠OAB + 90° = 180°  ...[(i) से]

${\displaystyle \Rightarrow }$ 2∠OAB = 180° – 90° = 90°

${\displaystyle \Rightarrow \angle OAB=\frac{{90}^{\circ }}{2}={45}^{\circ }}$   ...(ii)

साथ ही, ΔACB में, ∠ACB + ∠CBA + ∠CAB = 180°  ...[त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।]

∴ 45° + 30° + ∠CAB = 180°  ...[∵ ∠ABC = 30°]

${\displaystyle \Rightarrow }$ ∠CAB = 105°

चूँकि, ∠CAO + ∠OAB = ∠CAB

${\displaystyle \Rightarrow }$ ∠CAO + 45° = 105°  ...[(ii) से]

${\displaystyle \Rightarrow }$ ∠CAO = 105° – 45° = 60°