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प्रश्न
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए।
`int_1^3 dx/(x^2 (x + 1)) = 2/3 + log 2/3`
उत्तर
माना `I = int_1^3 dx/(x^2 (x + 1))`
अब, `1/(x^2 (x + 1)) = A/x + B/x^2 + C/(x + 1)`
∴ 1 ≡ Ax (x + 1) + B(x + 1) + Cx2 ....(i)
(i) में x = 0 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
1 = B (0 + 1)
⇒ B = 1
(i) में x = -1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
= C (-1)2
⇒ C = 1
(i) के पक्षों पर x2 के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।
∴ 0 = A + C
∴ A = - C = - 1
⇒ A = -1
∴ `1/(x^2 (x + 1)) = (- 1)/x + 1/x^2 + 1/(x + 1)`
∴ `int_1^3 1/(x^2 (x + 1)) dx`
`= - int_1^3 1/x dx + int_1^3 1/x^2 dx + int_1^3 1/(x + 1) dx`
`= [- log |x| + x^-1/-1 + log |x + 1|]_1^3`
`= [- 1/x + log |(x + 1)/x|]_1^3 = (-1/3 + 1) + log 4/3 - log 2`
`= 2/3 + log (4/3 xx 1/2)`
`= 2/3 + log 2/3`
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