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प्रश्न
`int_0^1 tan^-1 ((2x - 1)/(1 + x - x^2))`dx का मान है:
विकल्प
1
0
-1
`pi/4`
उत्तर
0
स्पष्टीकरण-
`tan^-1 ((2x - 1)/(1 + x - x^2))`
`= tan^-1 [(x + (x - 1))/(1 - x(x - 1))]`
`= tan^-1 x + tan^-1 (x - 1)` ...(1) ...`[tan^-1 x + tan^-1 "y" = tan^-1 ((x + "y")/(1 - "xy"))]`
`therefore "I" = int_0^1 tan^-1 ((2x - 1)/(1 + x - x^2))`dx
`= int_0^1 [tan^-1 x + tan^-1 (x - 1)]`dx
`= int_0^1 [tan^-1 (1 - x) + tan^-1 (1 - x - 1)] "dx" ...[because int_0^"a" "f"(x) "dx" = int_0^"a" "f"("a" - x) "dx"]`
`= int_0^1 [- tan^-1 (x - 1) - tan^-1 x] " dx"`
`therefore "I" = - int_0^10 [tan^-1 x + tan^-1 (x - 1) " dx"]` ....(2)
समीकरण (1) व (2) का जोड़ने पर,
2I = 0 अथवा I = 0
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