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प्रश्न
योग की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।
`int_a^b x "dx"`
उत्तर
यहाँ परिभाषानुसार f(x) = x और nh = (b - a)
`int_a^b f(x) = lim_("h" -> 0)` [f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) ...... + f a + (n - 1) h]
`int_a^b x "dx" = lim_("h" -> 0)` h [a + (a + h) + (a + 2h) .... a + (n - 1) h]
`= lim_("h" -> 0)` [na + {h + 2h + 3h ..... + (n - 1) h}]
`= lim_("h" -> 0)` h [na + {h (1 + 2 + 3 .... n - 1)}]
`= lim_("h" -> 0)` h [na + h `xx 1/2` n(n - 1)]
`= lim_("h" -> 0)` [nah `+ 1/2` hn (nh - h)]
`= lim_("h" -> 0)` [(b - a) a `+ 1/2` (b - a) {(b - a) - h}] ...(∵ nh = b - a)
`= ("b - a") "a" + (("b - a")^2)/2`
`= (("b - a"))/2.` (2a + b - a)
`= (("b - a") ("b + a"))/2`
`= ("b"^2 - "a"^2)/2`
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