Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^2  x sqrt(2 - x)  dx`

Answer 1

माना `I = int_0^2 x sqrt (2 - x)  dx`

2 - x = t रखने पर,

⇒ dx = dt

जब x = 0, t = 2

और  x = 2, t =  0

∵ `I = - int_2^0 (2 - t) sqrtt  dt`

`= int_0^2 (2t^(1/2) - t^(3/2)) dt`

`= [(2t^(3/2))/(3/2) - t^(5/2)/(5/2)]_0^2`     `...[∵ - int_a^0 f (x) dx = int_0^a f (x) dx]`

`= [4/3 t^(3/2) - 2/5 t^(5/2)]_0^2`

`= 4/3 (2)^(3/2) - 2/5 (2)^(5/2)`

`= 4/3 xx 2 sqrt2 - 2/5 xx 4 sqrt2`

`= (8 sqrt 2)/3 - (8 sqrt 2)/5`

`= (16 sqrt2)/15`