Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(pi//2) (sin^(3/2) x dx)/(sin^(3/2) x + cos^(3/2) x)  dx`

Answer 1

माना `I = int_0^(pi/2) (sin^(3/2)x)/(sin^(3/2) x + cos^(3/2)) dx`        .....(i)

`I = int_0^(pi/2) (sin^(3/2) (pi/2 - x))/(sin^(3/2) (pi/2 - x) + cos^(3/2) (pi/2 - x))  dx`

`[∵ int_0^a f (x) dx = int_0^a f (a - x)  dx]`

`= int_0^(pi/2) (cos^(3/2) x)/(sin^(3/2)x + cos^(3/2)x)  dx`       ....(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं।

`2I = int_0^(pi/2) (sin^(3/2)x + cos^(3/2) x)/(sin^(3/2) x + cos^(3/2) x)`  dx

`= int_0^(pi/2) 1 dx = [x]_0^(pi/2)`

`= pi/2 - 0`

`= pi/2`

अतः `I = pi/2`