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प्रश्न
निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
`int_0^a (sqrt x)/(sqrt x + sqrt(a - x)) dx`
उत्तर
माना I = `int_0^a (sqrtx)/(sqrtx + sqrt(a - x)) dx` ....(i)
`= I = int_0^a (sqrt(a - x))/(sqrt(a - x) + sqrt (a - (a - x)))`
I = `int_0^a sqrt(a - x)/(sqrt(a - x) + sqrtx) dx` ....(ii)
`[because int_0^a f(x) dx = int_0^a f(a - x) dx]`
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
`2 I = int_0^a (sqrtx + sqrt(a - x))/(sqrt(a - x) + sqrtx) dx`
`2 I = int_0^a 1 * dx => [x]_0^a`
⇒ 2I = a
∴ `I = a/2`
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दर्शाइए कि `int_0^a f(x) g(x) dx = 2 int_0^a f(x)` dx, यदि f और g को f(x) = f(a - x) एवं g(x) + g(a - x) = 4 के रूप में परिभाषित किया गया है।
