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प्रश्न
P और Q क्रमश : एक समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख AB और CD भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। AQ, DP को S पर प्रतिच्छेद करता है तथा BQ, CP को R पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
उत्तर
दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, P और Q क्रमश : AS और CD के मध्य-बिंदु हैं।
दर्शाना है - PRQS एक समांतर चतुर्भुज है।
उपपत्ति - चूँकि, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
AB || CD
⇒ AP || QC
साथ ही, AB = DC
`1/2`AB = `1/2`DC ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
⇒ AP = QC ...[चूँकि, P और Q, AB और DC के मध्य-बिंदु हैं।]
अब, AP || QC और AP = QC
इस प्रकार, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AQ || PC या SQ || PR ...(i)
दोबारा, AB || DC या BP || DQ
साथ ही, AB = DC
⇒ `1/2`AB = `1/2`DC ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
⇒ BP = QD ...[चूँकि, P और Q, AB और DC के मध्य-बिंदु हैं।]
अब, BP || QD और BP = QD
इसलिए, BPDQ एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ PD || BQ या PS || QR ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
SQ || RP और PS || QR
इसलिए, PRQS एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः सिद्ध हुआ।
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