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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी समलंब के विकर्णों के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा उस समलंब की समांतर भुजाओं के समांतर होती है।
उत्तर
दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC और मान लीजिए कि M और N क्रमश : विकर्ण AC और BD के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है - MN || AB || CD
रचना - CN को मिलाइए और इसे बढ़ाकर AB को E पर मिलाइए।
ΔCDN और ΔEBN में, हमारे पास है।
DN = BN ...[चूँकि N, BD का मध्य-बिंदु है।]
∠DCN = ∠BEN ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
और ∠CDN = ∠EBN ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
∴ ΔCDN ≅ ΔEBN ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
∴ DC = EB और CN = NE ...[CPCT नियम द्वारा]
इस प्रकार, ΔCAE में, बिंदु M और N क्रमश : AC और CE के मध्य-बिंदु हैं।
∴ MN || AE ...[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]
⇒ MN || AB || CD
अतः सिद्ध हुआ।
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