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प्रश्न
D, E और F क्रमश : एक त्रिभुज ABC की AB, BC और CA भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए D, E और F बिंदुओं को मिलाने से त्रिभुज ABC चार सर्वांगसम त्रिभुजों में बँट जाता है।
उत्तर
दिया गया है - एक ΔABC में, D, E और F क्रमश : भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है - ΔABC को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।
उपपत्ति - चूँकि, ABC एक त्रिभुज है और D, E और F क्रमश : भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, AD = BD = `1/2`AB, BE = EC = `1/2`BC
तथा AF = CF = `1/2`AC
अब, मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रयोग करने पर,
EF || AB और EF = `1/2`AB = AD = BD
ED || AC और ED = `1/2`AC = AF = CF
और DF || BC और DF = `1/2`BC = BE = CE
ΔADF और ΔEFD में,
AD = EF
AF = DE
और DF = FD ...[सामान्य]
∴ ΔADF ≅ ΔEFD ...[SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसी प्रकार, ΔDEF ≅ ΔEDB
तथा ΔDEF ≅ ΔCFE
इसलिए, △ABC को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।
अतः सिद्ध हुआ।
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