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प्रश्न
P, Q, R और S क्रमश : एक चतुर्भुज ABCD की AB, BC, CD और DA भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, जिसमें AC = BD है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भज है।
उत्तर
दिया गया है - चतुर्भुज ABCD में, P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
साथ ही, AC = BD
सिद्ध करना है - PQRS एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति - ΔADC में, S और R क्रमश : AD और DC के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा।
SR || AC और SR = `1/2` AC ...(i)
ΔABC में, P और Q क्रमश : AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा।
PQ || AC और PQ = `1/2` AC ...(ii)
समीकरणों (i) और (ii) से,
SR = PQ = `1/2` AC ...(iii)
इसी प्रकार, ΔBCD में,
RQ || BD और RQ = `1/2` BD ...(iv)
तथा ΔBAD में,
SP || BD और SP = `1/2` BD ...(v)
समीकरण (iv) और (v) से,
SP = RQ = `1/2` BD = `1/2` AC [दिया गया है, AC = BD] ...(vi)
समीकरण (iii) और (vi) से,
SR = PQ = SP = RQ
यह दर्शाता है कि चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः, PQRS एक समचतुर्भुज है।
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