Question

P, Q, R और S एक चतुर्भुज ABCD की क्रमश : AB, BC, CD और DA भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, जिसमें AC = BD और AC ⊥ BD है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक वर्ग है।

Answer 1

दिया गया है - चतुर्भुज ABCD में, P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।

साथ ही, AC = BD और AC ⊥ BD।

सिद्ध करना है - PQRS एक वर्ग है।

उपपत्ति - अब, ΔADC में, S और R भुजाओं AD और DC के मध्य-बिंदु हैं, तो मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,

SR || AC और SR = `1/2` AC   ...(i)

ΔABC में, P और Q, AB और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,

PQ || AC और PQ = `1/2` AC  ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) से,

PQ || SR और PQ = SR = `1/2` AC  ...(iii)

इसी प्रकार, △ABD में, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,

SP || BD और SP = `1/2` BD = `1/2` AC  [दिया गया है, AC = BD] ...(iv)

और ΔBCD, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,

RQ || BD और RQ = `1/2` BD = `1/2` AC  [दिया गया है, BD = AC] ...(v)

समीकरण (iv) और (v) से,

SP = RQ = `1/2` AC  ...(vi)

समीकरण (iii) और (vi) से,

PQ = SR = SP = RQ

इस प्रकार, चारों भुजाएँ बराबर हैं।

अब, चतुर्भुज OERF में,

OE || FR और OF || ER

∴ ∠EOF = ∠ERF = 90°  ...[∵ AC ⊥ DB ⇒ ∠DOC = ∠EOF = 90° समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के रूप में]

∴ ∠QRS = 90°

इसी प्रकार, ∠RQS = 90°

इसलिए, PQRS एक वर्ग है।

अतः सिद्ध हुआ।