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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि, समांतर चतुर्भुज के चारों कोणों के समद्विभाजकों से बना चतुर्भुज आयत होता है।
उत्तर
दत्त: `square` ABCD समांतर चतुर्भुज है।
साध्य: `square` PQRS आयत है।
उपपत्ति:
`square` ABCD समांतर चतुर्भुज है। ...(दत्त)
∠ADC + ∠BCD = 180° ...(समांतर चतुर्भुज के क्रमिक कोण संपूरक होते हैं।)
प्रत्येक पक्ष में `1/2`, से गुणा करने पर,
`1/2` ∠ADC + `1/2` ∠BCD = `1/2xx180°` ...(i)
परंतु, `1/2` ∠ADC = ∠PDC ...(किरण DP, ∠ADC को समद्विभाजित करती है) ...(ii)
तथा `1/2` ∠BCD = ∠PCD ...(किरण CP, ∠BCD को समद्विभाजित करती है) ...(iii)
∴ ∠PDC + ∠PCD = 90° ...[(i), (ii) और (iii) से] ...(iv)
ΔPDC में,
∠PDC + ∠PCD + ∠DPC = 180° ...(त्रिभुज के तीनो कोणों के मापों का योगफल 180° होता है।)
∴ 90° + ∠DPC = 180° ...[(iv) से]
∴ ∠DPC = 180° - 90°
∴ ∠DPC = 90°
अर्थात ∠SPQ = 90° ...(D-S-P, P-Q-C) ...(v)
इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि, ∠SRQ = 90° ...(vi)
इसी प्रकार, ∠ASD = 90° तथा ∠BQC = 90° ...(vii)
∠PSR = ∠ASD ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ∠PSR = 90° ...[(vii) से] ...(viii)
इसी प्रकार, ∠PQR = 90° ...(ix)
`square` PQRS में,
∠SPQ = ∠SRQ = ∠PSR = ∠PQR = 90° ...[(v), (vi), (viii) और (ix) से]
∴ `square` PQRS आयत है।
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