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प्रश्न
त्रिज्या 8 cm और ऊँचाई 12 cm वाले एक शंकु को उसकी अक्ष के मध्य-बिंदु से होकर जाने वाले और आधार के समांतर तल द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है। दोनों भागों के आयतनों का अनपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
शंकु की ऊँचाई = OM = 12 cm
शंकु को मध्य-बिंदु से विभाजित किया गया है।
अत:, माना शंकु का मध्य-बिंदु = P
OP = PM = 6 cm
ΔOPD और ΔOMN से,
∠POD = ∠POD ...[सामान्य]
∠OPD = ∠OMN ...[दोनों 90°]
इसलिए, कोण-कोण समानता मानदंड द्वारा,
हमारे पास है,
ΔOPD ~ ΔOMN
और
समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं,
तो, हमारे पास हैं,
`"PD"/"MN" = "OP"/"OM"`
`"PD"/8 = 6/12`
PD = 4cm ...[MN = 8 cm = शंकु के आधार की त्रिज्या]
पहले भाग यानी शंकु के लिए
आधार त्रिज्या, r = PD = 4 cm
ऊँचाई, h = OP = 6 cm
हम जानते हैं कि,
त्रिज्या r और ऊंचाई h, V = `1/3 π"r"^2"h"` के लिए शंकु का आयतन,
पहले भाग का आयतन = `1/3 π(4)^(2)6` = 32π
दूसरे भाग के लिए, अर्थात फ्रस्टम
निचली त्रिज्या, r1 = MN = 8 cm
ऊपरी त्रिज्या, r2 = PD = 4 cm
ऊंचाई, h = PM = 6 cm
हम जानते हैं कि,
शंकु के छिन्नक का आयतन = `1/3 π"h"("r"_1^2 + "r"_2^2 + "r"_1"r"_2)`, जहाँ, h = ऊँचाई, r1 और r2 त्रिज्याएँ हैं, (r1 > r2)
दूसरे भाग का आयतन = `1/3 π(6)[8^2 + 4^2 + 8(4)]`
= 2π(112)
= 224π
इसलिए, हमें अनुपात मिलता है,
पहले भाग का आयतन : दूसरे भाग का आयतन = 32π : 224π = 1 : 7
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