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प्रश्न
वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें रेखा 2x + 3y – 5 = 0, बिंदुओं (8, –9) और (2, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए कि रेखा 2x + 3y – 5 = 0 बिंदुओं A(8, –9) और B(2, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड को बिंदु P पर 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है।
∴ P के निर्देशांक = `{(2λ + 8)/(λ + 1), (λ - 9)/(λ + 1)}` ...`[∵ "आंतरिक विभाजन" = {(m_1x_2 + m_2x_1)/(m_1 + m_2), (m_1y_2 + m_2y_1)/(m_1 + m_2)}]`
लेकिन P, 2x + 3y – 5 = 0 पर स्थित है।
∴ `2((2λ + 8)/(λ + 1)) + 3((λ - 9)/(λ + 1)) - 5` = 0
⇒ 2(2λ + 8) + 3(λ – 9) – 5(λ + 1) = 0
⇒ 4λ + 16 + 3λ – 27 – 5λ – 5 = 0
⇒ 2λ – 16 = 0
⇒ λ = 8
⇒ λ : 1 = 8 : 1
तो, बिंदु P रेखा को 8 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
∴ विभाजन बिंदु P = `{(2(8) + 8)/(8 + 1), (8 - 9)/(8 + 1)}`
= `((16 + 8)/9, - 1/9)`
= `(24/9, (-1)/9)`
= `(8/3, (-1)/9)`
अतः, विभाजन का आवश्यक बिंदु `(8/3, (-1)/9)` है।
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