Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती] Official 2023-2024 SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] Question Paper Solution

खालीलपैकी कोणत्या तारखेतील संख्या हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे?

15/08/17

16/08/16

3/5/17

4/9/15

sinθ × cosecθ = किती? 

1 

0

`1/2`

`sqrt2`

X-अक्षाचा चढ ______ असतो.

1

-1

0

ठरवता येत नाही

3 सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळातील सर्वांत मोठ्या जीवेची लांबी किती?

1.5 सेमी

3 सेमी

6 सेमी

9 सेमी

जर ∆ABC ~ ∆PQR आणि AB : PQ = 2 : 3, तर `("A" (∆"ABC"))/("A"(∆"PQR"))` ची किंमत काढा.

बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळाच्या त्रिज्या अनुक्रमे 5 सेमी व 3 सेमी असतील तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती असेल?

एका चौरसाचा कर्ण `10sqrt2` सेमी असतील तर त्याच्या बाजूची लांबी काढा.

रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन दिला आहे, त्यावरून त्या रेषेचा चढ काढा. 

45°

वरील आकृतीमध्ये, ∠ABC हा कंस ABC मधील आंतरलिखित कोन आहे. जर ∠ABC = 60°, तर m∠AOC काढा.

उकल:

∠ABC = `1/2` m(कंस AXC)  ...`square` 

60° = `1/2` m(कंस AXC) 

`square` = m(कंस AXC) 

परंतु m∠ AOC = m(कंस `square`)   ...(केंद्रीय कोनाचा गुणधर्म)

∴ m ∠AOC = `square`

sin²θ + cos²θ ची किंमत काढा.

उकलः

Δ ABC मध्ये, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°

AB² + BC² = `square`   ...(पायथागोरसचे प्रमेय)

दोन्ही बाजूला AC² ने भागून,

`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`

∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`

परंतु `"AB"/"AC" = square  "आणि"  "BC"/"AC" = square`

∴ `sin^2 theta  + cos^2 theta = square` 

वरील आकृतीमध्ये, चौरस ABCD च्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात. जर AB = 14 सेमी, तर छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढा. `square` ABCD चौरसाला एक वर्तुळ आतून स्पर्श करत आहे. AB = 14 सेमी

उकलः

चौरसाचे क्षेत्रफळ  = `(square)^2`   ...(सूत्र)

= 14²

= `square  "सेमी"^2`

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ  = `(square)`   ...(सूत्र)

= `22/7 xx 7 xx 7`

= 154 सेमी²

छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ = चौरसाचे क्षेत्रफळ − वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

= 196 − 154

= `square  "सेमी"^2`

वर्तुळपाकळीची त्रिज्या 3.5 सेमी असून तिच्या वर्तुळकंसाची लांबी 2.2 सेमी आहे, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा. 

एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 सेमी व 12 सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी काढा.

आकृतीमध्ये, m(कंस NS) = 125°, m(कंस EF) = 37°, तर ∠NMS चे माप काढा.

खाली दिलेल्या बिंदूंतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.

A(2, 3) आणि B(4, 7)

एका गोलाची त्रिज्या 7 सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.

ΔABC मध्ये, किरण BD हा ∠ABC चा दुभाजक आहे. A - D - C, रेख DE || बाजू BC, A - E - B, तर `("AB")/("BC") = ("AE")/("EB")` हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा:

सिद्धता:

ΔABC मध्ये, किरण BD हा ∠B चा दुभाजक आहे.

∴ `square/("BC") = ("AD")/("DC")`  ......(I) (`square`)

ΔABC मध्ये, DE || BC

∴ `(square)/("EB") = ("AD")/("DC")`   ....(II) (`square`)

∴ `("AB")/square = square/("EB")`   [(I) व (II)वरून]

पक्ष:

केंद्र P असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB आणि जीवा CD वर्तुळाच्या अंतर्भागात बिंदू E मध्ये छेदतात.

साध्य:

AE × EB = CE × ED

रचना:

रेख AC आणि रेख BD काढले.

रिकाम्या जागा भरून सिद्धता पूर्ण करा.

सिद्धता:

Δ CAE आणि Δ BDE मध्ये,

∠AEC ≅ ∠DEB    ...`square`

`square` ≅ ∠BDE     ...(एकाच वर्तुळकंसात अंतर्लिखित कोन)

∴ Δ CAE ~ Δ BDE    ...`square`

∴ `square/ ("DE") = ("CE")/square`    ...`square` 

∴ AE × EB = CE × ED

खालील बिंदू एकरेषीय आहेत की नाहीत हे ठरवा.

A(1, −3), B(2, −5), C(−4, 7)

ΔABC ∼ ΔLMN, ΔABC असा काढा, की AB = 5.5 सेमी, BC = 6 सेमी, CA = 4.5 सेमी आणि `"BC"/"MN" = 5/4` तर ΔABC व ΔLMN काढा.

ΔPQR मध्ये, रेख PM मध्यगा आहे. PM = 9 आणि PQ² + PR² = 290, तर QR काढा.

"त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते.” हे सिद्‌ध करा.

जर `1/sin^2θ - 1/cos^2θ-1/tan^2θ-1/cot^2θ-1/sec^2θ-1/("cosec"^2θ) = -3`, तर θ ची किमत काढा.

12 सेमी त्रिज्या असलेल्या वृत्तचिती आकाराच्या भांड्यात 20 सेमी उंचीपर्यंत पाणी भरलेले आहे.त्या भांड्यात एक धातूचा गोळा टाकल्यास पाण्याची उंची 6.75 सेमीने वाढते, तर त्या धातूच्या गोळ्याची त्रिज्या काढा.

बिंदू O केंद्र घेऊन 3 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. या वर्तुळास P या बाह्यबिंदूतून रेख PA व रेख PB हे स्पर्शिकाखंड असे काढा की ∠APB 70°.

समलंब चौकोन ABCD मध्ये बाजू AB || बाजू CD चौकोनाचे कर्ण हे एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदतात.

त्यावरून खालील प्रश्‍नांची उत्तरे लिहा:

1. वरील दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा.
2. व्युत्क्रम कोन व विरुद्ध कोनांची प्रत्येकी एक जोडी लिहा.
3. समरूप त्रिकोणांची नावे समरूपतेच्या कसोटीसह लिहा.

O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची AB जीवा आहे. AOC वर्तुळाचा व्यास आहे. स्पर्शिका AT वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते.

खालील प्रश्‍नांची उत्तरे लिहा:

1. वरील दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा.
2. ∠CAT व ∠ABC ची मापे काढा व त्याचे कारण लिहा.
3. ∠CAT व ∠ABC एकरूप आहेत का? स्पष्टीकरण लिहा.