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प्रश्न
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि
- D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
- MD ⊥ AC है।
- CM = MA = `1/2 AB` है।
उत्तर
(i) ΔABC में,
यह दिया गया है कि M, भुजा AB और MD का मध्य-बिंदु है || BC.
अत:, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है। ...(मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम)
(ii) DM के रूप में || CB और AC उनके लिए एक तिर्यक रेखा है, इसलिए,
∠MDC + ∠DCB = 180° ...(सह-आंतरिक कोण)
∠MDC + 90° = 180°
∠MDC = 90°
∴ MD ⊥ AC
(iii) MC को जोड़ने पर।
ΔAMD और ΔCMD में,
AD = CD ...(D भुजा AC का मध्य-बिंदु है)
∠ADM = ∠CDM ...(प्रत्येक 90°)
DM = DM ...(उभयनिष्ठ)
∴ ΔAMD ≅ ΔCMD ...(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AM = CM ...(CPCT से)
हालाँकि, AM = `1/2 AB` ...(M, AB का मध्य-बिंदु है)
अतः, यह कहा जा सकता है कि
CM = AM = `1/2 AB`
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