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प्रश्न
संलग्न आकृति में `square` ABCD समलंब चतुर्भुज है। AB || DC है। रेख AD तथा रेख BC के मध्यबिंदु क्रमशः P तथा Q हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ || AB तथा PQ = `1/2` (AB + DC)
उत्तर
दत्त: `square` ABCD एक समलंब है।
साध्य: PQ || AB तथा PQ = `1/2`(AB + DC)
रचना: रेख AQ इस प्रकार आगे बढ़ाओ कि, वह भुजा DC को आगे बढ़ाने पर, उसे बिंदु R पर प्रतिच्छेदित करें।
उपपत्ति:
रेख AB || रेख DC ...(दत्त)
तथा रेख BC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ABC ≅ ∠RCB ...(एकांतर कोण)
∴ ∠ABQ ≅ ∠RCQ ...(i) ...(B-Q-C)
∆ABQ तथा ∆RCQ में,
∠ABQ ≅ ∠RCQ ...[(i) से]
रेख BQ ≅ रेख CQ ...(बिंदु Q रेख BC का मध्यबिंदु है।)
∠BQA ≅ ∠CQR ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ∆ABQ ≅ ∆RCQ ...(सर्वांगसमता की को-भु-को कसौटी)
रेख AB ≅ रेख CR ...(स.त्रि.सं.भु) ...(ii)
रेख AQ ≅ रेख RQ ...(स.त्रि.सं.भु) ...(iii)
∆ADR में,
बिंदु P, रेख AD का मध्यबिंदु है। ...(दत्त)
बिंदु Q, रेख AR का मध्यबिंदु है। ...[(iii) से]
∴ रेख PQ || भुजा DR ...(मध्यबिंदु प्रमेय)
∴ रेख PQ || भुजा DC ...(iv) ...(D-C-R)
∴ भुजा AB || भुजा DC ...(v) ...(दत्त)
∴ रेख PQ || भुजा AB ...[(iv) तथा (v) से]
PQ = `1/2` DR ...(मध्यबिंदु प्रमेय)
= `1/2` (DC + CR)
= `1/2` (DC + AB)
PQ = `1/2` (AB + DC)
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