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प्रश्न
आकृति में `square` PQRS तथा `square` MNRL आयत है। बिंदु M यह PR का मध्यबिंदु है। तो सिद्ध कीजिए कि
(i) SL = LR, (ii) LN = `1/2` SQ
उत्तर
(i) `square` LMNR तथा `square` MNRL आयत है।
∴ रेख LM || रेख RN ...(आयत की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात, रेख LM || रेख RQ ...(R-N-Q) ...(i)
रेख RQ || रेख SP ...(आयत की सम्मुख भुजाएँ) ...(ii)
(i) तथा (ii) से,
रेख LM || रेख SP ...(iii)
ΔRSP में,
बिंदु M, रेख PR का मध्यबिंदु है।
रेख LM || रेख SP ...[(iii) से]
∴ बिंदु L, रेख SR का मध्यबिंदु है। ...(मध्यबिंदु प्रमेय का विलोम) ...(iv)
∴ SL = LR
(ii) आयत के विकर्ण सर्वांगसम होते हैं।
∴ SQ = PR ...(v)
तथा LN = MR ...(vi)
अब, MR = `1/2` PR ...(बिंदु M, रेख PR का मध्यबिंदु है।) ...(vii)
∴ LN = `1/2` PR ...[(vi) तथा (vii) से] ...(vii)
∴ LN = `1/2` SQ ...[(vii) तथा (viii) से]
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