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प्रश्न
D, E और F क्रमश: एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि ∆DEF भी एक समबाहु त्रिभुज है।
उत्तर
प्रश्न में दिया गया है, D, E और F समतुल्य ∆ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना कि ∆DEF एक समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति - ∆ABC में, E और F क्रमश: AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, तो EF || BC
इसलिए, EF = `1/2` BC ...(I)
DF || AC, DE || AB
DE = `1/2` AB और FD = `1/2` AC [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(II)
अब, ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
AB = BC = CA
`1/2` AB = `1/2` BC = `1/2` CA ...[उपरोक्त समीकरण में (ii) से भाग देने पर]
इसलिए, DE, EF = FD ...[समीकरण (I) और (II) से]
चूँकि, ∆DEF की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
अत:, ∆DEF एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः सिद्ध हुआ।
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